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Soit f une fonction à une variable réelle
Soit I l'intervalle sur lequel f est définie
Démontrons que:
f strictement croissante <=> f croissance et injective
(1)
<=>
(2)
Technique: On va faire: (1)=>(2) puis (2)=>(1)
*Étape I: (1)=>(2)
Si on le fait par contraposition non (2)=>non
(1):
f non injective et non croissante
Donc, il existe (a,b) appartient à I2 tels que a<b =>
f(a)=f(b)
Donc elle n'et pas strictement croissante
Si on le fait par le sens direct:
f strictement croissante
Donc, pour tout (a,b) appartenant à I2,
a<b => f(a)<f(b)
Donc, pour tout (a,b) appartenant à I2,
a différent de b => f(a) différent de f(b)
Donc f injective
*Étape II: (2)=>(1) Si on le fait par contraposition non
(1)=>non (2):
f non strictement croissante
Donc il existe (a,b) appartenant à I2
tel que a<b => f(a) = f(b)
Donc f non injective
Si on le fait par le sens direct:
f croissante
Donc pour tout (a,b)
appartenant à I2 tel que a<b =>
f(a) inférieur ou égal à f(b)
Or f est aussi injective donc x<y => f(x)<f(y)
Donc f strictement croissante
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